Уравнение плоскости проходящей через 2. Уравнения плоскости: общее, через три точки, нормальное

Пусть точки M 1 , M 2 , M 3 не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Выведем уравнение плоскости р . Пусть М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы

$\overrightarrow{M_{1}M}$, $\overrightarrow{M_{1}M_2}$, $\overrightarrow{M_{1}M_3}$ компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

($\overrightarrow{M_{1}M}$, $\overrightarrow{M_{1}M_2}$, $\overrightarrow{M_{1}M_3}$) = 0. (1)

Если точки M 1 , M 2 и M 3 заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.

Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2), M 3 (х 3 ; у 3 ; z 3) - данные точки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z . Найдем координаты векторов, входящих в уравнение (1):

$\overrightarrow{M_{1}M}$ = (х - х 1 ; у - у 1 ; z - z 1),

$\overrightarrow{M_{1}M_2}$ = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1),

$\overrightarrow{M_{1}M_3}$ = (x 3 - x 1 ; у 3 - y 1 ; z 3 - z 1).

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов. Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

$$ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0 \;\; (2)$$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки А (а ; 0; 0), В(0; b ; 0), С(0; 0;с ), у которых а =/= 0, b =/= 0, c =/= 0. Эти точки лежат на осях координат (рис. 200).

Полагая в уравнении (2) x 1 = а , у 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, у 2 = b , z 2 = 0, x 3 = 0, у 3 = 0, z 3 = с , получим

$$ \begin{vmatrix} x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix}=0 $$

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение

bc (х - a ) + acy + abz = 0

bcx + асу + abz = abc ,

x / a + y / b + z / c = 1. (3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках , так как числа a, b и с указывают, какие отрезки отсекает плоскость на осях координат.

Задача. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Упростить полученное уравнение. Получить уравнение данной плоскости в отрезках.

Уравнение (2) в данном случае записывается следующим образом:

$$ \begin{vmatrix} x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end{vmatrix}=0 $$

Это и есть уравнение данной плоскости. Разложив определитель по первой строке, получим

62(х + 1) +93(y - 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Разделив почленно на 12 и перенеся свободный член уравнения в правую часть, получим уравнение данной плоскости в отрезках

$$ \frac{x}{-6}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1 $$

Из уравнения видно, что данная плоскость отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны соответственно 6, 4 и 6. Ось Ох пересекается плоскостью в точке с отрицательной абсциссой, ось Оу - в точке с положительной ординатой, ось Оz - в точке с положительной апликатой.

Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.

Что собой представляет уравнение в отрезках?

Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:

Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.

Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y - равную q, на z - длиною r.

Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).

Связь общего и в отрезках уравнений

Известно, что плоскость задана следующим равенством:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.

Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:

2*x - 3*y + z = 6 =>
2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>
x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.

При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак "+". Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.

Нормальный вектор и точка на плоскости

Известно, что некоторая плоскость имеет (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.

Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:

Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Теперь можно записать полностью уравнение:

Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:

3*x - z = 2 =>
x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.

Две прямые, задающие плоскость

Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.

Известны два уравнения прямых:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);
(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.

Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:

Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;
x + 2*y + z -1 = 0.

Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:

x + 2*y + z = 1 =>
x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.

Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:

Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);
QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);
n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;
6*z = 0 или z = 0.

Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам

Указание: 1способ . Возьмем произвольную точку плоскости M (x, y, z). Векторы будут компланарны, так как они расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведение
Записывая это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости:

Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой строке.

2 способ . Векторы
параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторов
перпендикулярен этой плоскости, т.е.
и
. Векторявляется нормальным вектором плоскости. Если
и
, то вектор находится по формуле:

Уравнение плоскости находим по точке
и нормальному вектору

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору
.(
неколлинеарны).

Указание: 1 способ. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и
располагаются в параллельных плоскостяхи, следовательно, компланарны, т.е. их смешанное произведение
Записав это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости .

2 способ . Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению векторов
, т.е.
или в координатах:

Уравнение искомой плоскости найдется по нормальному векторуи точке
(или точке
)по формуле (2.1.1)

(см. пример 1 пункт 2.2).

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0.

Указание: Нормальный вектор найдем из общего уравнения данной плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Векторперпендику-лярен данной плоскости, следовательно, он перпендикулярен любой плоскости, параллельной ей. Векторможно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1 пункт 2.2).

Ответ:

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y – 2z + 1 =0 и

x + y + z – 5 = 0.

Указание: 1 способ. Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы (координаты векторов найдены из общих уравнений плоскостей, формула (2.2.1)) перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Искомая плоскость проходит через точку
параллельно двум векторам
(см. задачу 1 пункт 5).

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке, получим искомое уравнение.

2 способ. Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору по формуле (2.2.1). Нормальный векторравен векторному произведению векторов
,т.е.
Так как векторы
перпендикулярны линии пересечения плоскостей, то вектор параллелен линии пересечения плоскостей и перпендикулярен искомой плоскости.

Векторы (см. формулу 2.2.1), тогда

Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору

(см. пример 1 пункт 2.2)

Ответ:

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
и
перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z +15 = 0.

Указание: 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости

3x – y + 3z +15 = 0:
Так как плоскости перпендикулярны, то векторпараллелен искомой плоскостиСоставим уравнение искомой плоскости
которая параллельна векторуи проходит через точки
(см. решение задачи 2 пункт 5; 1 способ).

Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и вектору нормали
Вектор

Составляем уравнение искомой плоскости .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (см. задачу 2 пункт 5; 2 способ). Разделим обе части уравнения на 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Ответ: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

и

Указание: Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки (см. пример 1, пункт 2.3, формула 2.3.1).

Раскрывая определитель, получим

Ответ:

Замечание. Для проверки правильности вычисления определителя рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскостиx – 4y + 5z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнение данной плоскости
x – 4y + 5z + 1 = 0 найдем нормальный вектор
(формула 2.2.1). Векторперпендикулярен к искомой плоскости
Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1; пункт 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам

Указание: См. решение задачи 1 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x – y – z – 1 = 0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.

Указание: См. решение задачи 4 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x +2y – z – 8 = 0.

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

перпендикулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.

Указание: См. решение задачи 5 пункт 5.

Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

параллельно прямой, определяемой точками A (5; –2; 3) и B (6; 1; 0).

Указание: Искомая плоскость параллельна прямой AB, следовательно, она параллельна вектору
Уравнение искомой плоскостинаходим, как в задаче 2 пункта 5 (одним из способов).

Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. ТочкаP (2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Указание: Нормальным вектором к искомой плоскости является вектор
Найдем его координаты.P (2; –1; –2) и O(0; 0; 0)

т.е.
Составим уравнение плоскостипо точке и нормальному вектору
(см. пример 1, пункт 2.2).

Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости: а)xoy; б) yoz; в) xoz.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиoz перпендикулярен плоскости xoy, следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости
Составляем уравнение плоскости по точкеA (0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), т.к.
(см. решение задачи 3, пункт 5).
z – 2 = 0.

Аналогично решаем задачи б) и в).

б)
где
(1; 0; 0).

в)
где(0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Ответ: а) z – 2 = 0 ; б) x = 0; в) y + 1 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 1; –1) перпендикулярно плоскости: а) xoy; б) xoz.

Указание: Нормальным вектором плоскости xoy является вектор

= (0; 0; 1) – единичный вектор оси oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки
и B (2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор
(0; 0; 1), используя один из способов решения задачи 5 пункта 5.
y – 1 = 0.

Аналогично для задачи б):
где = (0; 1; 0).

Ответ: а) y – 1 = 0 ; б) x + z – 1 = 0.

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 3; –1) параллельно оси oz.

Указание: На оси oz можно взять единичный вектор = (0; 0; 1). Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 5 (любым способом).

Ответ : x – y + 1 = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ox и точку

Указание: Плоскость
проходит через осьox, следовательно, и через точку O(0; 0; 0). На оси ox можно взять единичный вектор = (1; 0; 0). Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкамA(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору параллельному плоскости. (См. решение задачи 2 пункт 5).

Ответ: 6y + z = 0.

17. При каком значении А плоскости Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 будут перпендикулярны?

Указание: Из общих уравнений плоскостей

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и
2x – y + 2z = 0 векторы нормалей

= (А; 2; –7) и
= (2; –1; 2) (2.2.1). Условие перпендикулярности двух плоскостей(2.6.1).

Ответ: A = 8.

18. При каком значении А плоскости 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и

4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?

Указание:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 и
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и
= (4;A; –12) (2.2.1). Т.к.
(2.5.1)

Ответ: A = 6.

19. Найти угол между двумя плоскостями 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0.

Указание:
2x + y + z + 7 = 0 и
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Ответ :

20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

A (1; 2; –3) параллельно вектору =(1; –2; 1).

Указание: См. решение примера пункта 3.1.

Ответ :

21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

A (–2; 3; 1) параллельно вектору =(3; –1; 2).

Указание: См. решение примера пункта 3.2.

Ответ :
.

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4) .

Указание: См. решение примера 1 пункта 3.3.

Ответ: а)
б)

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Указание: См. пример 1 пункт 3.4. Пусть z = 0, тогда координаты x и y точки
находим из решения системы

Следовательно, точка
, лежащая на искомой прямой, имеет координаты

(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей
x – 2y +3z – 4 = 0 и
3x + 2y – 5z – 4 = 0

находим нормальные векторы =(1; –2; 3) и
=(3; 2; –5).

Канонические уравнения прямой находим по точке
(2; –1; 0) и направля-ющему вектору

(См. формулу (3.1.1)).

Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (3.2.1) или из канонических уравнений:
Имеем:

Ответ :
;
.

24. Через точку
(2; –3; –4) провести прямую, параллельную прямой

Указание: Канонические уравнения искомой прямой найдем по точке
и направляющему векторуТак как
то за направляющий векторпрямойможно взять направляющий векторпрямойL. Далее см. решение задачи 23 пункт 5 или пример 1 пункт 3.4.

Ответ :

25. Даны вершины треугольника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Указание: Координаты точки M найдем из условия AM = MC (BM – медиана треугольника ABC).

Составим канонические уравнения прямойBM по двум точкам B (2; 4; –1) и
(См. пример 1 пункт 3.3).

Ответ :

26. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
(–1; –2; 2) параллельно осиox.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой
= (1; 0; 0). Составим уравнения прямой по точке

(–1; –2: 2) и вектору = (1; 0; 0) (см. пример пункт 3.1 и пример 1 пункт 3.2).

Ответ :
;

27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
(3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения плоскости
5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор = (5; 3; –7). По условию искомая прямая
следовательно, вектор
т.е. векторявляется направляющим вектором прямойL: = (5; 3; –7). Составляем канонические уравнения прямой по точке
(3; –2; 4) и направляющему вектору

= (5; 3; –7). (См. пример пункт 3.1).

Ответ :

28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.

Указание: Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости
4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O (0; 0; 0). (См. решение задачи 27 пункт 5 и примера 1 пункт 3.2).

Ответ:

29. Найти точку пересечения прямой
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0.

Указание: Чтобы найти точку M пересечения прямой

L:
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0, надо решить систему уравнений:

;

Для решения системы канонические уравнения прямой преобразуем к параметрическим уравнениям. (См. задачу 23 пункт 5).

Ответ :

30. Найти проекцию точки M (4; –3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки М на плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость
и плос-костиСоставим параметрические уравнения пер-пендикуляра МР.(См. решение задачи 28 пункт 5).

Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости (См. решение задачи 29 пункт 5).

Ответ:

31. Найти проекцию точки А(1; 2; 1) на прямую

Указание: Проекцией точки А на прямую L:
является точкаВ пересечения прямой L и плоскости
которая проходит через точку А и перпендикулярна прямойL. Из канонических уравнений прямой L выпишем направляющий вектор =(3; –1; 2). Плоскостьперпендикулярна прямойL, следовательно,
Таким образом, векторможно взять за нормальный вектор плоскости
= (3; –1; 2). Составим уравнение плоскостипо точке А(1; 2; 1) и= (3; –1; 2) (см. пример 1 пункт 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Найдем точку В пересечения прямой и плоскости (см. задачу 29 пункт 5):

Ответ :

32. Через точку M (3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум плоскостям x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0.

Указание: Плоскости
x – y + z – 3 = 0 и
x + y + 2z – 3 = 0 не параллельны, т.к. не выполняется условие (2.5.1):
Плоскости
пересекаются. Искомая прямаяL, параллельная плоскостям
параллельна линии пересечения этих плоскостей. (См. решение задач 24 и 23 пункт 5).

Ответ :

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две прямые

Указание: 1 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
, лежащей на прямой, и нормальному вектору. Векторбудет равен векторному произведению направляющих векторов прямых
, которые найдем из канонических уравнений прямых
(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координаты точки
найдем из канонических уравнений прямой

Составляем уравнение плоскости по точке
и вектору нормали=(–34; 46; 20) (см. пример 1 пункт 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2 способ. Находим направляющие векторы = (7; 3; 5) и= (5; 5; –3) из канонических уравнений прямых
Точку
(0; 2; –1) находим из уравнения

. Возьмем произвольную точку плоскости

M (x; y; z). Векторы
– компланарны, следовательно,
Из этого условия получаем уравнение плоскости:

Ответ : 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(2; 0; 1) и прямую

Указание: Убедимся прежде всего, что точка
на данной прямой не лежит:
Точку
и направляющий векторнаходим из канонических уравнений прямой
:
(1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормальный вектор искомой плоскости
Координаты нормального вектора найдем, зная координаты=(1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Составляем уравнение плоскости по точке
(2; 0; 1) и нормальному вектору= (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Ответ : 5x – 3y – z – 9 = 0.

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.