Цель работы : изучение волновых явлений, условия существования стоячих волн, исследование упругих свойств струны.
Основные теоретические положения
Пусть точка, совершающая колебания, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебания. Явление распространения колебаний в среде называется волной. При этом колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия.
Если в неограниченной среде беспрепятственно распространяется единственная волна, то она называется бегущей. Составим уравнение бегущей волны, позволяющее определять смещение любой точки волны в любой момент времени.
Р
Рис. 9.1. К выводу
уравнения бегущей волны
t
’.
Найдём смещение элементов
струны, как функцию координаты x
и времени
t
,
то есть функцию
.
Очевидно, что для точкиx
=0,
=
D
(t
’)=
Asin
t
’
(рис. 9.1). Предположим, что
бегущее по струне в
озмущение
распространяется с некоторой скоростью
.
Смещение элемента струныx
в момент t
равно смещению элемента x
=0
в момент t
’
=
,
если расстояние между ними равно
расстоянию, которое возмущение проходит
за время t
-
t
’
со скоростью
.
Тогда точкиx
=0
и x
=
x
колеблются в одной фазе:
x
=
(t
-
t
’),
,
.
Поэтому уравнение бегущей синусоидальной
волны
=
=
Asin
t
’
,
то есть
.
(9.1)
Преобразуем
функцию (9.1):
.
Обозначим
=
k
и назовём его волновым числом, тогда
=
.
Следовательно, скорость
,
.
Величину
,
равную расстоянию, которое возмущение
преодолевает за период колебаний,
назовём длиной волны, то есть
,
тогда
,
.
Уравнение (9.1) и есть уравнение бегущей одномерной (или плоской) волны. При заданном x оно позволяет определить положение точки (с координатой равновесного положения x ) в любой момент времени t . При заданном t оно позволяет определить мгновенные положения всех колеблющихся точек.
Таким образом, видим, что в волновом движении имеет место двоякая периодичность. С одной стороны, каждая частица среды совершает периодическое движение во времени, с другой стороны, в каждый момент времени все частицы располагаются на линии, форма которой периодически повторяется в пространстве.
О
пределим
скорость распространения продольных
колебаний вдоль бесконечно
длинного стержня с постоянным поперечным
сечением.
П
Рис. 9.2.
Распространение упругой деформации
вдоль стержня
(рис.
9.2) вблизи
этого сечения происходит уплотнение
материала стержня, и возникает деформация
сжатия. Появляются упругие силы,
стремящиеся восстановить первоначальную
плотность, в результате чего возникает
сжатие соседних областей и таким образом
локальное возмущение плотности вблизи
левого края стержня распространяется
вправо со скоростью
.
Импульс
силы упругости
равен
.
Если Е −
модуль сжатия,
иначе называемый модулем
Юнга, то
.
За время
деформация
распространяется на
расстояние
.
Масса участкастержня,
охваченная деформацией, увеличится
на
вследствие
увеличения
плотности материала на
.Так как 
,то
.
В соответствии со вторым зaконом
Ньютона импульс силы упругости равен
изменению импульса, то есть
.
Подставляя все величины, получим
или 
,
(9.2)
где
- погодная плотность материала стержня.
Уравнение
(9.1)
описывает
волну, распространяющуюся в положительном
направлении оси ох.
При
изменении направления распространения
волны на
противоположное второе слагаемое в
аргументе косинуса изменяет знак, так
как
заменяется
на
.
(9.3)
Рассмотрим теперь распространение волны в струне, закрепленной с обеих сторон. При этом волна, движущаяся в одном направлении, достигнув второго закрепленного конца струны, отразится и станет распространяться в противоположном направлении. Таким образом вдоль длины струны возникнет явление наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Если свойства среды не изменяются под воздействием распространяющейся волны, то будет выполняться принцип суперпозиции, согласно которому каждая волна распространяется в среде независимо от других. В этом случае результирующее смещение z частиц среды будет определяться как сумма смещений z 1 и z 2 , обусловленных прохождением отдельных волн. В результате будет наблюдаться в различных точках среды усиление или ослабление колебаний в зависимости от фаз приходящих возмущений.
Сложение волн, при котором в разных точках среды образуются усиления и ослабления амплитуды колебаний, называется интерференцией волн. Такая интерференционная картина сохраняется во времени.
Рассмотрим интерференцию двух волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в противоположных направлениях, как в случае струны, закрепленной с обеих сторон. При этом необходимо учитывать следующее явление. После отражения от закрепленного конца отраженная деформация имеет противоположный знак. Это становится понятным, если учесть, что так, как смещение закрепленного конца все время отсутствует, у точки крепления развиваются силы, препятствующие приходящему изгибу струны. Эти силы порождают изгиб противоположного знака, начинающий распространяться в обратную сторону. Поэтому и в отраженной деформации знак смещения изменяется на обратный. Если отражается гармоническая волна, то такое изменение равносильно «потере» полуволны при отражении.
Таким образом, наложение двух волн даст следующее:
Используя формулу разности синусов, получим
.
(9.4)
Это выражение называется уравнением стоячей волны, при этом предполагается режим установившихся колебаний, то есть режим, возникающий после многократного пробега волн между креплениями струны. Из (9.4) видно, что в стоячей волне все точки среды (любое значение x ) колеблются по гармоническому закону с круговой частотой .
Амплитуда колебаний различна для разных точек и определяется из (9.4) следующим образом:
.
(9.5)
Из последнего выражения вытекает, что есть точки среды, называемые узлами, в которых колебания отсутствуют Z m = 0, следовательно, z = 0. Координаты этих точек определятся из условия равенства нулю синуса в выражении (9.5), то есть
.
(9.6)
Отсюда,
так как
,
получаем
.
Следовательно, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Так как узлы все время остаются в покое, то в стоячей волне нет направленного переноса энергии, энергия не может перейти через узел. Передача энергии по струне производится только бегущей волной.
Те
точки, в которых значение амплитуды
достигает максимума
,
называются пучностями. Как следует из
выражения (9.5), координаты этих точек
определяются из условия
,
то есть отвечают уравнению
.
Видим, что расстояние между соседними
пучностями также равно половине длины
волны.
Множитель
при переходе через узел меняет знак,
вследствие чего фаза колебаний по разные
стороны от узла отличается на.
Все точки, находящиеся между двумя
соседними узлами, колеблются в одинаковой
фазе (их отклонения имеют одинаковый
знак). Условие неподвижности обоих
концов закрепленной струны приводит к
тому, что на длине струны должно
укладываться целое число полуволн:
.
(9.7)
Таким образом, стоячая волна образуется только при надлежащем соотношении размеров струны и длины волны (частоты колебаний). Для разных значений n = 1, 2,… получим различные типы, или моды, колебаний, при этом n определяет число пучностей, а не узлов. Из (9.6) с учетом (9.7) получим формулу для частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны
,
(9.8)
Частоты 
называют собственными частотами струны.
Частоту 
называют основной частотой, остальные
–
обертонами. Видим, что определяемые
формулой (9.8) собственные частоты не
зависят от модуля Юнга материала. Этот
результат является следствием того,
что мы пренебрегли изменением натяжения
струны при колебаниях.
В общем случае в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном n = 1, могут возбуждаться обертоны n = 2, 3, 4,….
Полученные выше уравнения описывают движение идеально гибкой струны в вакууме. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии.
Часть энергии теряется вследствие трения о воздух, другая часть уходит через концы струны и т.д. Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне должна происходить передача энергии. Поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной будет незначительным.
Другим приближением в изложенной выше теории является пренебрежение неоднородностью струны. В реальной струне и плотность, и натяжение могут являться непрерывными функциями координаты Х . Например, если струна подвешена вертикально, то учет массы струны приведет к тому, что натяжение в верхних частях будет больше, чем внизу. Любая неоднородность приведет к искажению формы колебаний, так как синусоидальные колебания в пространстве характерны только для нормальных мод однородных систем.
Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения длины и линейной плотности материала струны. Оборудование: Установка включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром измерительную линейку с подвижными порожками электрическую лампочку с держателем фотоэлемент низкочастотный усилитель осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн. Колебания струны как пример стоячей волны На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей...
Лабораторная работа № 25
КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Цель работы:
Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения, длины и линейной плотности материала струны.
Оборудование:
Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн.
Продолжительность работы 4 часа.
Теоретическая часть.
1. Упругие волны
Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде, сопровождающийся переносом энергии. Особую роль в теории волн играют гармонические волны , в которых изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.
Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей.
Рассмотрим гармоническую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x . Введём обозначение: отклонение от положения равновесия точки среды с координатой x в момент времени t . На Рис.1 показан график функции для некоторого фиксированного момента t .
Рис.1 Вид функции для фиксированного момента t .
Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:
где V скорость распространения волны, а T период колебаний. Как видно на Рис.1, длину волны можно также определить как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2 π . Учитывая соотношение между периодом и частотой, получим:
(1)
Пусть источник колебаний, находящийся в точке x =0 колеблется по закону, где a амплитуда смещения; ω циклическая частота. Тогда колебания в точке с координатой x будут запаздывать на время, необходимое для прохождения волны от источника до данной точки:
Учитывая соотношение (1), получим:
Величина называется волновым числом . С учетом этого обозначения:
(2)
Это выражение называется уравнением плоской волны . Если волна распространяется в направлении отрицательных значений оси x , то её уравнение примет вид:
(3)
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением . Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x , волновое уравнение имеет вид:
(4)
В справедливости этого утверждения легко убедиться путём простой подстановки в волновое уравнение (4) уравнения плоской волны (2).
2. Стоячие волны
Стоячей волной называется колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.
Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:
При наложении этих волн возникает колебательный процесс:
Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:
(5)
Это и есть уравнение стоячей волны . Сомножитель описывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (5), амплитуда этих колебаний зависит от координаты x по закону. На Рис.2 (а) приведен вид функции стоячей волны для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t . На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной функции для обычной бегущей волны. Сравнив эти рисунки, можно заключить, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.
Рис. 2 Вид функции стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t .
Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны обращается в ноль, называются узлами . В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 2, а). Координаты узлов должны удовлетворять условию:
(6)
Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 2, а) называются пучностями . Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:
(7)
3. Колебания струны как пример стоячей волны
На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине струны целое число раз, как это показано на Рис. 3. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n (см. Рис. 3). В общем виде это соотношение имеет вид:
Или (8)
Длинам волн (8) соответствуют частоты:
где V фазовая скорость волны скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называют собственными частотами . Гармонические колебания с собственными частотами это собственные (нормальные) колебания или гармоники . Частота ν , соответствующая n =1 называется основной частотой :
(9)
Рис. 3 Собственные колебания струны
Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρ материала струны и силой её натяжения F (см. Приложение):
(10)
Подставим в выражение для основной частоты (9):
(11)
Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы.
Описание установки
Внешний вид и схема установки показаны на Рис. 4.
Струна (1) натягивается между колком (2), регулирующим силу натяжения, и измеряющим её пружинным динамометром (3). Струна опирается на два подвижных треугольных порожка (4). Её длина регулируется перемещением этих порожков по измерительной линейке (5). Струна располагается между лампочкой (6) и фотоэлементом со щелевой апертурой (7).
Колебания струны возбуждаются легким ударом резинового молоточка. В результате освещенность фотоэлемента и генерируемый им сигнал изменяются с той же частотой, с которой колеблется струна. Сигнал от фотоэлемента через усилитель (8) поступает на осциллограф (9) и универсальный счётчик (10), измеряющий частоту сигнала.
Рис. 4 Внешний вид (а) и схема (б) установки для измерения частоты колебаний струны
Экспериментальная часть
Упражнение 1. Измерение зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения.
- Прежде чем натягивать струну, необходимо произвести установку нуля динамометра. Если струна уже натянута, вращая колок, сбросьте натяжение до его полного отсутствия. Ослабив фиксирующий винт на боковой поверхности цилиндрического корпуса динамометра, добейтесь, чтобы край корпуса совпадал с нулевым делением шкалы динамометра. Закрепите фиксирующий винт.
- Для экспериментальной проверки соотношения (17) между частотой колебаний струны и силой натяжения используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1). Установите её между крючком динамометра и крюком с нитью, закреплённой на колке. Струна при этом должна лежать на треугольных порожках. Медленно вращая колок, установите силу натяжения струны F =10 Н.
- Перемещая порожки вдоль линейки, установите длину струны l =50 см. Здесь и далее под длиной струны будем понимать расстояние между верхними углами порожков. Его можно измерять как по положению порожков на линейке (поз. 5 Рис. 4), так и непосредственно с помощью металлической линейки.
- Включите осциллограф. Регулировку « VOLTS/DIV » соответствующего канала установите в положение « 1 » (см. Рис. 5). Регулировку « TIME /DIV » установите в положение « 2 ms ».
- Включите усилитель (выключатель находится на задней панели прибора). Установите регулировку « Amplification » в положение « 10 2 » (см. Рис. 6). Кнопка « AC/DC » должна быть отжата, что соответствует переменному входному сигналу. Регулировку амплитуды установите в среднее положение.
- Включите универсальный счетчик (выключатель находится на задней панели прибора). С помощью кнопки « Mode » переведите его в режим « Analog » (см. Рис. 7). С помощью кнопки « Function » установите режим измерения частоты « Freq ». Кнопкой « Set » установите режим « Digits ». Нажмите кнопку « Start ». Загорится лампочка над этой кнопкой, свидетельствующая о том, что счетчик готов к измерению частоты.
Рис. 5 Внешний вид экрана осциллографа.
Рис. 6 Внешний вид лицевой панели усилителя.
Рис. 7 Внешний вид лицевой панели универсального счетчика.
- Непосредственно перед измерением частоты, необходимо убедиться, что:
- Длина струны соответствует нужной величине (порожки могут немного сместиться при изменении натяжения струны);
- Натяжение соответствует нужной величине (натяжение может измениться при передвижении порожков);
- Тень от струны совпадает с прорезью щели фотоприемника. Для этого нужно либо посмотреть на фотоприемник снизу, либо использовать зеркало.
Данные проверки необходимо повторять перед каждым последующим измерением.
- Возбудите колебания струны лёгким ударом резинового молоточка. Счетчик начинает измерение частоты не сразу, а после затухания высоких гармоник. Этот процесс можно контролировать с помощью осциллографа: на его экране в момент измерения должны наблюдаться колебания, близкие к синусоидальным (см. Рис. 5).
- Повторите измерения, постепенно увеличивая силу натяжения до F =40 Н, с шагом 5 Н.
Не пытайтесь установить силу натяжения константановой струны с диаметром 0,4 мм больше 40 Н! Это может привести к её разрыву.
Результаты измерений занесите в таблицу:
Таблица 1.
|
F , Н |
ν , Гц |
ν 2 , Гц 2 |
Гц 2 |
- Заполните остальные клетки Таблицы 1. Погрешность измерения частоты принять равной, а погрешность измерения силы натяжения . Постройте график зависимости квадрата частоты от силы натяжения. Согласно (11) эта зависимость линейна:
(12)
Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки ρ л и её погрешность.
- Линейная и объёмная плотности связаны соотношением:
, (13)
где S и d соответственно площадь и диаметр поперечного сечения проволоки. Используя эту формулу, определите объёмную плотность константана ρ и погрешность этой величины. Погрешность измерения длины струны принять равной, а погрешность измерения диаметра струны .
Упражнение 2. Измерение зависимости частоты колебаний струны от её длины.
- Для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и её длиной, как и в первом упражнении, используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1).
- Установите длину струны l =30 см и силу натяжения струны F =30 Н.
- Измерьте частоту колебаний струны.
- Постепенно увеличивая длину струны до l =60 см с шагом 5 см, измерьте зависимость частоты колебаний струны от её длины. Результаты занесите в таблицу:
Таблица 2.
|
l , см |
ν , Гц |
Мс |
Мс |
- Заполнив остальные клетки Таблицы 2, постройте график зависимости периода колебаний струны от её длины. Согласно (17) эта зависимость должна быть линейной:
(14)
Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки, объёмную плотность константана и погрешности этих величин.
Упражнение 3. Измерение зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности материала.
- Данные о проволоках, используемых для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и линейной плотностью материала, приведены в Таблице 3.
Таблица 3.
|
Материал |
Диаметр поперечного сечения d , мм |
Объёмная плотность ρ , г/см 3 |
Линейная плотность ρ л , г/м |
|
|
Тантал |
0,471±0,002 |
|||
|
Константан |
0,620±0,002 |
|||
|
Никель |
0,647±0,002 |
|||
|
Медь |
1,110±0,002 |
|||
|
Медь |
1,794±0,003 |
Эти проволоки не выдерживают больших натяжений. Поэтому не пытайтесь установить силу натяжения более 20 Н!
- Установив попеременно для каждой струны длину l =50 см и силу натяжения струны F =20 Н, измерьте частоты их колебаний. Результаты занесите в таблицу.
- Нанесите экспериментальные точки на теоретический график зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности, построенный в ходе выполнения расчетного задания. Сделайте вывод.
Подготовка к работе.
1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:
- гармонические колебания, амплитуда, фаза, частота;
- волны в упругой среде;
- скорость волны, частота, длина волны;
- уравнение плоской волны;
- волновое уравнение;
- стоячие волны, узлы и пучности;
- колебания струны, гармоники;
2. Выведите формулу (11)
3. Расчетное задание. Пользуясь формулой (11), для струны длиной l =50 см, натянутой с силой F =20 Н, постройте на миллиметровой бумаге график зависимости частоты колебаний от линейной плотности в диапазоне ρ л от 0 до 2 г/м с шагом 0,2 г/м.
4. Сформулируйте основную цель работы и порядок ее выполнения.
Приложение 1. Вывод формулы для скорости волны в струне.
На Рис. 1-1 схематически показана натянутая струна. Выделим малый её фрагмент и запишем для него второй закон Ньютона:
где и силы, действующие на левый и правый концы струны соответственно.
Рис. 1-1 К выводу волнового уравнения колебаний струны.
В проекциях на вертикальную ось ξ :
При малых смещениях, а тангенс угла наклона кривой в свою очередь равен производной функции: . Таким образом, .
Массу, приходящуюся на единицу длины струны, принято называть линейной плотностью. Тогда массу фрагмента можно выразить через его длину: . При малых колебаниях длину фрагмента струны можно принять равной его проекции на ось X : . В результате получим:
Пренебрегая изменением силы F вдоль шнура, получим:
Это не что иное, как волновое уравнение, описывающее распространение волны со скоростью
Литература
1. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004, §§1.1 1.6.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Волны. Оптика М.: Астрель АСТ, 2003; §§1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.
PAGE 5
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
α 2
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
α 1
λ= VT
260.5 Hz
Счетчик
Усилитель
Осциллограф
б) Бегущая волна
а) Стоячая волна
Пучности
Узлы
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать |
|||
| 38790. | ДИНАМИКА ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ МОЛОДЕЖИ В ОТНОШЕНИИ СЕМЬИ И БРАКА В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ РОССИЙСКОГО СОЦИУМА | 758 KB | |
| Теоретикометодологические основы исследования и ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Некоторые теоретические подходы к изучению ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Факторы формирования и тенденции развития ценностных ориентаций современной российской молодежи в отношении семьи и брака. | |||
| 38791. | Влияние восстановленного глутатиона и ингибитора каталазы на пероксидную резистентность и скорость лизиса эритроцитов при действии хлорида железа | 650 KB | |
| Установлено, что при ингибировании каталазной активности азидом натрия, в том числе при действии хлорида железа скорость гемолиза эритроцитов возрастает. Хлорид железа (III) в концентрации 0,5% вызывал полный лизис эритроцитов человека за 5 мин инкубации с максимумом лизиса от 1,5 до 3,5 минут инкубации вне зависимости от предварительной обработки эритроцитов | |||
| 38792. | Методы оценки кредитоспособности ссудозаемщика коммерческого банка | 1.08 MB | |
| Кредит выступает опорой современной экономики, неотъемлемым элементом экономического развития. Его используют как крупные предприятия и объединения, так и малые производственные, сельскохозяйственные и торговые структуры; как государства, правительства, так и отдельные граждане. Он становится неизбежным атрибутом товарного хозяйства. | |||
| 38793. | Лісові природно-заповідні території як осередки еволюційного збереження лісового дендрофіторізноманіття | 403 KB | |
| Сучасний стан лісових генетичних ресурсів та стратегії їх збереження. Стратегії збереження генетичної мінливості лісової дендрофлори. Підходи до збереження генетичної мінливості лісового генофонду. Збереження видів деревних рослин іn situ. | |||
| 38794. | ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ (НА ПРИМЕРЕ ООО «ДАБАН») | 856.5 KB | |
| Анализ объема и ассортимента продукции. Анализ структуры продукции и влияние структурных сдвигов на изменение стоимости продукции. Понятие эффективности Целью деятельности любого промышленного предприятия является выпуск определенной продукции выполнение работ оказание услуг установленного объема и качества в определенные сроки. Но при установлении масштабов производства следует исходить не только из народнохозяйственных и индивидуальных потребностей в данной продукции но и в необходимости учитывать достижение максимального... | |||
| 38795. | ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ И ПУТИ ЕЕ ПОВЫШЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ РУП «КЛИМОВИЧСКОГО ЛИКЕРО-ВОДОЧНОГО ЗАВОДА» | 742 KB | |
| К ним в частности относятся: увеличение реализации остатков готовой продукции на складах продажа неиспользуемого оборудования снижение себестоимости продукции в результате приобретения нового оборудования. Для успешного функционирования каждый хозяйствующий субъект должен стремиться к повышению эффективности своей деятельности на основе рационального использования ресурсного потенциала увеличения прибыльности производства улучшения качества реализуемой продукции. В основе этого понятия лежит ограниченность ресурсов желание экономить... | |||
| 38796. | Исследование учета и анализа денежных средств на примере коммерческой организации ВООИ «Синтез» | 555.5 KB | |
| Теоретические и организационные основы учета и анализа денежных средств. Виды денежных средств организации.Классификация денежных потоков. Нормативная база учета и анализа денежных средств. | |||
| 38797. | Уголовно - правовая квалификация мошенничества | 325 KB | |
| Актуальность темы исследования состоит в том что в ней существует ряд дискуссионных проблем в частности относительно объективной и субъективной природы признаков мошенничества. В условиях недостаточно глубокого исследования признаков и специфики мошенничества наличия в теории уголовного права многих спорных вопросов по этой проблеме нередко возникают затруднения и ошибки при квалификации... | |||
| 38798. | Расчет автоматизированного электропривода поперечной подачи плоскошлифовального станка 3Е711 | 3.36 MB | |
| Для увеличения точности шлифования в данном курсовом проекте необходимо уделить особое внимание приводу вертикальной подачи поэтому рассмотрим несколько вариантов его реализации: На основе применения вентильного двигателя: Подключение вентильного двигателя можно реализовать с помощью микросхемы MC 33033 и MC 33039 рис.1 Схема привода на основе БДПТ На основе шагового двигателя: Основные функциональные узлы разомкнутого шагового электропривода приведены на рис. Принцип его работы заключается в том что при изменении частоты... | |||
59.Стоячие волны. Колебания струны.
Стоя́чая волна́ - колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе - волны Шумана.
Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.
Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса.
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.
Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения точки xв момент времени t.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения
перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t) (смотри рисунок) .
Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны.
Уравнение колебаний струны.
а=const- зависит от упругости, жесткости, массы и т. д.
Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны
Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик);
Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных).
60. Громкость и высота тона звука.
Звуковые волны – продольные.
сейсмические – поперечные и продольные
20 – 20000 Гц > …..
инфра ультра
звук звук
Тон – звук одной частоты.
Обертон – дополнительная частота.
Тембр – оттенок звука.
Шум – много частот.
Громкость звука зависит от амплитуды колебаний.
Высота звука зависит от частоты колебаний.
61. Эффект Доплера.
Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника. Его легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, тот услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.
Для волн, распространяющихся в какой-либо среде (например, звука) нужно принимать во внимание движение как источника так и приёмника волн относительно этой среды. Для электромагнитных волн (например, света), для распространения которых не нужна никакая среда, имеет значение только относительное движение источника и приёмника.
Эффект был впервые описан Кристианом Доплером в 1842 году.
Также важен случай, когда в среде движется заряженная частица с релятивистской скоростью. В этом случае в лабораторной системе регистрируется черенковское излучение, имеющее непосредственное отношение к эффекту Доплера.
Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа - ниже (меньше), другими словами, если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется - длина волны увеличивается.
| " |
Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Фурье имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения примерами, мы начнем с классической задачи о колебании струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции.
Под струной мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить. Пусть такая струна, длины закреплена концами в точках оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии вдоль этой оси (рис. 138). Представим себе, что в момент струна выводится из положения равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении.
Тогда точки струны начнут колебаться в вертикальной же плоскости. Если допустить, что каждая точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных
Задача и состоит в определении этой функции.
Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и малы (так что струна незначительно отдаляется от положения равновесия и остается пологой); это дает нам право пренебрегать квадратами этих малых величин.
Возьмем элемент струны в момент времени t (см. рис.); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине в начальный момент, ибо
Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным.
На выделенный элемент струны действует в точке М натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке - такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и а обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составляющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет
Здесь мы снова воспользовались правом отбрасывать квадраты малых величин (например, положили
а затем приращение функции заменили ее дифференциалом.
Если обозначить через «линейную» плотность струны, то масса элемента будет
Тогда по закону движения Ньютона произведение массы элемента на ускорение должно равняться найденной выше силе, действующей на этот элемент:
окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных:
которое и описывает изучаемое явление.
Кроме этого уравнения, искомая функция должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего - так называемым предельным или граничным условиям:
выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент то должны выполняться и начальные условия:
Таким образом, задача сводится к разысканию такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (2) и условиям (3) и (4).
Начнем, следуя по пути, указанному Фурье, с разыскания частных решений уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям (3), но отличным от нулевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от
Уравнение (2) в этом случае принимает вид
где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или
Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая - от t, то общее значение их по необходимости не зависит ни от х, ни от t и сводится
к постоянной, которую мы возьмем в виде Тогда уравнение (5) распадается на два:
их решения «общие интегралы» имеют вид:
Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая сразу видим, что полагая же и учитывая, что уже не может быть нулем, придем к условию
откуда при натуральном Таким образом, X может иметь одно из следующих значений:
Полагая при
придем к такой последовательности частных решений:
Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить
Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что
Полагая в (8) и (9) , приходим к условиям
Отсюда, если только функции удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п° 689 и определяются, наконец, искомые
коэффициенты:
Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)!
Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции и именно, пусть функция будет дифференцируема, а функция дважды дифференцируема, причем производные и предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке Тогда имеют место такие оценки:
Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям (почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.
Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка обозначая их суммы по-прежнему через мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида при целом к. Ряд для равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что
Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна
Вся струна разбивается на равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков - в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев . Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это - так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.
Основной тон определяется первой составляющей ей отвечает частота и период Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи!
На рис.3 представлены типичные зависимости квадрата частот колебаний струны от силы натяжения для различных гармоник n . Наблюдение cобcтвенныx колебаний cтpуны затpуднено, так как они отноcительно быcтpо затуxают. Поэтому в pаботе pаccматpиваютcя колебания, возбуждаемые поcтоянно дейcтвующей пеpиодичеcкой вынуждающей cилой.
Уcтановка (pиc. 4) состоит из металличеcкой рамы, состоящей из двух направляющих труб (1) , закрепленных на определенных расстояниях с помощью брусков (2) . На одном из брусков (2) установлена стойка (3) предназначенная для закрепления одного конца струны (4). На другом бруске (2) установлено устройство А , служащее для изменения натяжения струны и состоящее из пружинного динамометра (5) и узла его перемещения (6) . К пружине динамометра закреплен другой конец струны (4) . Сила натяжения изменяется ручкой (7) , а измеряется пружинным динамометром (5) . На направляющих трубах (2) укрепляются на определенных расстояниях бруски с установленными на них элементами. Стойками (8) устанавливается рабочая длина струны (4) . Длина струны между двумя закрепленными ее концами, равная расстоянию между стойками (8) измеряется линейкой (9) , находящейся на одной из труб. Колебания струны возбуждаются с помощью электромагнитного вибратора (10) , питаемого переменным током от генератора (11) , который имеет встроенный частотометр. Эле ктромагнитный вибратор (10) заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой генератора (11) . Амплитуда колебаний регистрируется электромагнитным датчиком (12) , соединенным с вольтметром (13) . Величина сигнала, выдаваемого электромагнитным датчиком, зависит от его расстояния до струны. Это изменение осуществляется с помощью винта (14) . Аналогичное устройство используется для регулировки расстояния между вибратором и струной. Расстояние между струной и вибратором меняется с помощью винта (15) , при этом изменяется амплитуда вынужденных колебаний струны.
Проведение эксперимента
Упражнение 1.
Установление зависимости частот собственных колебаний от силы натяжения струны.
Cила натяжения P
опpеделяет cкоpоcть pаcпpоcтpанения
возмущения вдоль cтpуны (2) и, cледовательно,
чаcтоту cобcтвенныx колебаний (19). В этом
упpажнении экcпеpиментально опpеделяетcя
xаpактеp завиcимоcти v n
от cилы натяжения cтpуны P
.
Измерения
Стойками (8) установите максимальную кратную 10 см длину струны. Натяните струну с силой 2 кГс (1 кГс=9.8 Н). Вибратор установите в положение, отстоящее на 10 см от закрепленного конца струны. Установите датчик приблизительно в 10 см от середины струны.
Изменяя частоту генератора ручкой "грубо" (начиная от нулевого значения по его школе) зафиксируйте максимальное отклонение стрелки вольтметра, регистрирующего амплитуду колебаний струны. При этом частота колебаний струны, установленная по шкале встроенного в генератор есть "грубое" значение экспериментально установленной резонансной частоты. Для определения точного значения величины v эксп воспользуйтесь шкалой "плавно" генератора. Поворачивая вправо или влево ручку генератора "плавно" добейтесь максимального отклонения стрелки (если при этом стрелка выходит за предел шкалы, увеличивайте диапазон измерений вольтметра ручкой "диапазон"). Запишите показание встроенного частотомера. Это значение резонансной частоты.
Установите, какой из гармоник соответствует данное колебание. Для этого не изменяя частоту генератора, перемещая датчик вдоль струны, определите количество узловых точек (при нахождении датчика под узловой точкой его сигнал равен нулю). Номер гармоники n колебания опpеделяетcя по фоpмуле n = N + 1 , где N - число узлов (не считая точки закрепления).
Увеличивая частоту колебаний, описанным выше образом, чтобы установите резонансные частоты для последующих четырех гармоник. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.
Установите значения нормальных колебаний первых гармоник для различных значений натяжения струны P . Для этого в области частот нормальных колебаний для соответствующих гармоник, установите частоты при которых наблюдаются максимальные колебания (по вольтметру) струны для сил ее натяжения равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.
С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот v теор нормальных колебаний для пяти первых гармоник при натяжениях струны равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Результаты расчетов внесите в табл.1.
Постройте теоретические зависимости квадрата частоты v 2 теор от силы натяжения P для пяти первых гармоник колебаний. Они должны быть подобны показанным на рис.3.
Отметьте на теоретических зависимостях квадраты экспериментально установленных значений частот пяти первых гармоник нормальных колебаний для разных величин P . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 2 n для нормальных колебаний.
Таблица 1
| P , кГс | 1-я гармоника | 2-я гармоника | 3-я гармоника | 4-я гармоника | 5-я гармоника | |||||
| v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | v эксп | v теор | |
| 2 | ||||||||||
| 3 | ||||||||||
| 4 | ||||||||||
| 5 | ||||||||||
| 6 | ||||||||||
| 7 | ||||||||||
Упражнение 2. Определение зависимости номера гармоники колебания от натяжения струны.
Из рис. 3 видно, что значение
v 2
(а следовательно и частоты нормальных
колебаний) для разных гармоник могут
принимать одинаковые значения при определенных
величинах силы натяжения струны P
.
Поэтому меняя силу натяжения струны можно
наблюдать различные гармоники нормальных
колебаний на одной и той же частоте.
В данном упражнении за счет изменения
силы натяжения струны проводят наблюдение
различных гармоник нормальных колебаний
на одной и той же частоте.
Измерения
Натяните струну с силой 2 кгс и найдите 5-ю гармонику по методике, описанной в упр.1.
Не меняя частоты генератора и увеличивая натяжение струны определяют значения P , при которых наблюдаются максимальные значения амплитуд колебаний. По методике, описанной в упр.1 устанавливают число узловых точек и соответственно номера гармоник для данных нормальных колебаний.
Найденные значения сил натяжения и соответствующие им номера гармоник занесите в табл.2.
Таблица 2
Обработка результатов
Постройте график зависимости n от P .
Упражнение 3. Опpеделение завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний от длины cтpуны.
Измерения
Установите силу натяжения струны 3кГс.
Используя методику, описанную в упр.1 определите значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний. Результаты занесите в табл.3
Изменяя длину струны (уменьшая каждый раз ее длину примерно на 20 %) определите значения частот 1 и 2 гармоник ее собственных колебаний. Результаты эксперимента занесите в табл.3
Таблица 3
| L , см | 1/L , см -1 | 1-я гармоника | 2-я гармоника | ||
| v эксп | v теор | v эксп | v теор | ||
Обработка результатов
С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний струны при тех ее длинах, для которых получены экспериментальные результаты. Результаты занесите в табл.3.
Постройте теоретические зависимости v 1,2 от величины, обратной длине струны 1/L .
Отметьте на теоретических зависимостях экспериментально установленные значения частот 1 и 2 гармоник нормальных колебаний для разных значений 1/L . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 1,2 для нормальных колебаний.
В xоде pаботы должны быть экcпеpиментально получены завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний cтpуны от cилы натяжения и длины. Результаты должны быть cопоcтавленны c теоpетичеcки pаccчитанными завиcимоcтями для извеcтной линейной плотноcти cтpуны.
Контрольные вопросы
Что такое свободные, вынужденные, собственные и нормальные колебания системы?
Сколько степеней свободы имеет натянутая струна, сколько нормальных колебаний в ней может быть возбуждено?
Вывести волновое уравнение.
Вывести связь между частотой нормального колебания, длиной струны и скоростью распространения волны в струне.
Что происходит в струне, когда частота внешнего сигнала выбрана произвольно (не обязательно равной одной из собственных частот)?
Стрелков С.П. Механика, М. Наука, 1975, гл.15, § 143.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1. Механика. М. Наука, 1989, § 84.
