При определении внутренних силовых факторов их считают приложенными в центре тяжести сечения. В действительности внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной. При увеличении нагрузки на элемент конструкции увеличиваются внутренние силы и соответственно увеличивается их интенсивность во всех точках сечения. Если в некоторой точке интенсивность внутренних сил достигнет определенного для данного материала значения, в этой точке возникает трещина, развитие которой приведет к разрушению элемента, или возникнут недопустимые пластические деформации. Следовательно, о прочности элементов конструкций следует судить не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением .

В окрестности произвольной точки, принадлежащей сечению некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку , в пределах которой действует внутреннее усилие (рис. 1.6, а ).

Среднее значение интенсивности внутренних усилий на площадке, называемое средним напряжением, определяют по формуле

Уменьшая площадь , в пределе получаем истинное напряжение в данной точке сечения

Векторная величина называется полным напряжением в точке . В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па) – это напряжение, при котором на площадке 1 м 2 действует внутренняя сила 1 Н.

Так как эта единица очень мала, в расчетах используют кратную единицу напряжения – мегапаскаль (1 МПа=10 6 Па).

Разложим вектор полного напряжения на две составляющие (рис.1.6, б ).

Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обознача­ется через и называется нормальным напряжением .

Рис. 1.6

Составляющую, лежащую в сечении в данной площадке обознача­ется через и называется касательным напряжением .

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению – отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в ). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

Через точку тела можно провести бесконечное число сечений и для каждого из них напряжения имеют свое значение. Следовательно, при определении напряжений необходимо указывать положение не только точки тела, но и сечения, проведенного через эту точку.

Совокуп­ность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке .

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами определенными зависимостями.

Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью . По этой площадке в общем случае действуют бесконечно малые (элементарные) внутренние силы (рис. 1.7)

Рис.1.7

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей , , имеют вид.

Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей и при повороте осей.

При параллельном переносе осей:

Если S x и S y равны нулю, тогда: ;

При повороте осей:

и для центробежного момента инерции:

Главные оси, главные моменты инерции. Определение направления главных осей. Определение значения главных моментов инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главным осями. Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции сечения. Чтобы определить положение главных центральных осей несимметричной фигуры, повернем произвольную начальную систему центральных осей z,yна некоторый угол при котором центробежный момент инерции становится равным нулю.

Откуда .

Определение значений главных моментов инерции:

Причем верхние знаки следует брать при .

Виды напряженного состояния. Тензор напряжений. Закон парности касательных напряжений.

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, содержащим точку.

Линейное – если одно главное напряжение отлично от нуля, а 2 других равны 0.

Плоское – если 2 главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю.

Объемное – если все 3 главных напряжения отличны от нуля.

– тензор напряжений.

Закон парности касательных напряжений:

Плоское напряженное состояние. Напряжения по наклонным площадкам. Определение напряжений с помощью кругов Мора. Прямая и обратная задача.

Плоским называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

Напряжения по наклонным площадкам:

Определение напряжений с помощью кругов Мора: ;

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси из центра С луч под углом 2 ( , то против часовой стрелки), находим точку D, координаты которой: , . Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

Прямая задача: , ,

Определим напряжения и , действующие по любой наклонной площадке по известным главным напряжениям и .

Обратная задача: ,

По известным нормальным касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min, 1и 2) напряжения и положение главных площадок. Касательные напряжения по главным площадкам равны 0). Угол определяющий положение главных площадок: . Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначить , , если оба отрицательны, то , .

Косой изгиб. Определение напряжений, условие прочности.

Изгиб с кручением стрежней круглого поперечного сечения. Определение расчетного напряжения и проверка прочности.

σ=√(Mx^2+My^2)/Wно; τ=Mкр/Wρ; По четвертой энергетической теории: σmax^IV=√(σ^2+3*τ^2)

Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Понятие о напряжениях. Связь между внутренними силовыми факторами и напряжениями.

Чтобы найти внутренние силы воспользуемся методом сечений РОЗУ. Р – разрезаем произвольный плоскостью на А и В. О – отбрасываем одну из этих частей, например В. Рассмотрим оставшуюся часть. З – заменяем. Внутренние силы мы заменяем главным вектором и главным моментом. Раскладываем главный вектор и главный момент в плоскости на оси. Внутренние силовые факторы:

Qx, Qy –вызывают сдвиг – перерезывающие поперечные силы; N – нормальная продольная шина, растяжение, сжатие бруса; Mz – крутящий момент; Mx, My – изгибающий момент. График изменения внутренного фактора при передвижении вдоль оси стержня называется эпюрой. У – уравновешиваем.

Выделим в рассматриваемом сечении точку B, а в окрестности этой точки – элементарную площадку с площадью . Пусть – равнодействующая всех внутренних сил, действующих на площадке. Отношение называется средним напряжением на площадке , которое характеризует среднюю интенсивность распределения внутренних сил на этой площадке. Предел этого отношения называется полным напряжением в точке B. Это напряжение можно разложить на составляющие: нормальное и касательные к плоскости сечения. Нормальная составляющая называется нормальным напряжением; составляющая, лежащая в плоскости сечения, называется касательным напряжением . Касательную составляющую раскладывают на 2 перпендикулярные составляющие вдоль осей x и y - и . Величина полного напряжения . Связь напряжений с внутренними силовыми факторами может быть описана следующимисоотношениями: 2. Растяжение и сжатие. Напряжение. Деформация. Условия прочности и жесткости. Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы, а прочие силовые факторы равны нулю. Деформацией называется изменение формы и размеров тела под действием напряжений. Напряжение - сила, действующая на единицу площади сечения детали.Условие прочности: , условие жесткости: .3. Механические характеристики материалов. Испытание материалов на растяжение сжатие. Под механическими характеристиками подразумеваются значения напряжений и деформаций, соответствующие определенным точкам на диаграмме условных напряжений.Пределом пропорциональности называется наибольшее напряжение, до которого деформации прямо пропорциональны напряжениям.Пределом упругости называется напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.Пределом текучести называется напряжение, при котором деформации растут без заметного увеличения нагрузки.Пределом прочности называется максимальное напряжение, выдерживаемое материалом при растяжении. Пределом упругости считается напряжение, при котором остаточные деформации достигают заранее установленной величины.4. Геометрические характеристики плоских сечений. Определение центра тяжести сложных сечений. Геометрические характеристики – числовые величины, определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции.

Центр тяжести сложного сечения определяется из условия

Классификация сил

Силы делятся на внешние и внутренние. Внешние силы характеризуют взаимодействие между телами, внутренние – взаимодействие между частицами одного тела.

Внешние силы, действующие на элементы конструкций, делятся на активные , называемые нагрузкой, и реактивные (реакции связей). Нагрузка подразделяется на поверхностную и объемную. К поверхностной нагрузке относятся силы контакта, возникающие при сопряжении двух элементов конструкции или при их взаимодействии; к объемным (массовым) силам – силы, действующие на каждый бесконечно малый элемент объема. Примерами объемных сил являются силы инерции, силы тяжести, силы магнитного взаимодействия.

По характеру действия на конструкцию различают нагрузку:

• статическую – изменяется медленно и плавно от нуля до конечного значения так, что ускорения точек системы, возникающие при этом, весьма малы, поэтому силами инерции по сравнению с нагрузкой можно пренебречь;
• динамическую – прикладывается к телу за малый промежуток времени или мгновенно с образованием значительных ускорений;
• повторно-переменную – изменяющуюся по произвольному периодическому закону.

Внутренние силовые факторы (метод сечений)

Пусть свободное тело под действием системы сил находится в равновесии (рис. 2.1). Требуется определить внутренние силы в сечении . Мысленно разрежем тело на две части по данному сечению и рассмотрим условия равновесия одной (любой) части тела. Обе части после разреза, вообще говоря, не будут находиться в равновесии, так как нарушены внутренние связи. Заменим действие левой части тела на правую и правой на левую некоторой системой сил в сечении , т.е. внутренними силами (рис. 2.2). Характер распределения внутренних сил в сечении неизвестен, но они должны обеспечить равновесие каждой части тела. Для составления условия равновесия отсеченной части приведем внутренние силы в виде главного вектора и главного момента к центру тяжести сечения и спроецируем их на оси координат (рис. 2.3). Получим три проекции главного вектора и три проекции главного момента которые называются внутренними силовыми факторами: – продольная сила; – поперечные силы; – крутящий момент; – изгибающие моменты.

Составив условия равновесия отсеченной части, получим

(2.1)

Уравнения (2.1) называются зависимостью между внешней нагрузкой на отсеченной части и внутренними силовыми факторами (статическими эквивалентами внутренних

Рис. 2.1

Рис. 2.2

сил). Если внешние нагрузки известны, то с их помощью можно определить внутренние силовые факторы.

Различают следующие основные виды деформаций:

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Понятие о напряжении

Согласно гипотезе 1 (см. п. 2.1.1) можно предположить, что внутренние силы непрерывно распределены по площади поперечного сечения бруса. Пусть на малую, но конечную площадку А (рис. 2.5) действует внутренняя элементарная сила R. Разложив R на составляющие по осям получим ее компоненты Отношение вида

определяет среднее напряжение на данной площадке в данной точке.

Полное, или истинное, напряжение в точке есть отношение

которое определяет интенсивность внутренних сил в данной точке рассматриваемого сечения. Поскольку через точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, то в данной точке имеется бесчисленное множество напряжений, связанных с площадками действия. Совокупность всех напряжений, действующих на разных площадках в данной точке, называется напряженным состоянием точки . Единица напряжения – Н/м2 или Па. По аналогии с выражением (2.3) можно записать:

Выражение (2.4) определяет нормальное напряжение σ x (рис. 2.6), вектор которого направлен так же, как и вектор нормальной силы Ν x. Выражения (2.5) и (2.6) определяют касательные напряжения ; их векторы имеют те же направления, что и, соответственно, и. Первый индекс при τ указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

Зависимость между полным напряжением К и его составляющими выражается формулой

Рассмотрим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил будут иметь следующий вид.

НАГРУЗКИ

Рассмотрим балку, находящуюся под действием плоской системы сил (рис. 12.7). Двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии друг от друга, выделим из балки элемент так, чтобы на него не действовали внешние сосредоточенные силы и моменты.

На левый торец элемента действуют внутренние усилия М и Q (рис. 13.7), а на правый Здесь представляют собой приращения величин внутренних усилий на участке балки. Кроме того, на элемент действует распределенная нагрузка, перпендикулярная к оси балки; интенсивность ее у левого конца элемента равна q, а у правого (рис. 13.7) .

Так как вся балка в целом находится в равновесии, то в равновесии находится и ее элемент Составим уравнение равновесия элемента в виде суммы проекций на ось у всех действующих на него сил (рис. 13.7):

Здесь второе слагаемое представляет собой величину высшего порядка малости; отбрасывая его, получаем

Итак, первая производная от. поперечной i силы по абсциссе сечения равна интенсивно распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси балки.

Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов действующих на него сил относительно точки К (рис. 13.7):

Отбросив бесконечно малые величины высших (второго и третьего) порядков, получим:

Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

Зависимости (5.7) и (6.7) действительны, когда абсцисса поперечного сечения возрастает от левого конца балки к правому. Если, наоборот, абсцисса х возрастает от правого конца балки к левому, то в правых частях формул (5.7) и (6.7) перед q и Q должен стоять знак «минус».

Из курса высшей математики известен геометрический смысл первой производной при любом значении аргумента она равна тангенсу угла а между касательной к кривой (в точке с координатами и положительным направлением оси Положительные и отрицательные значения угла а показаны на рис. 14.7, а.

Если первая производная (а следовательно, и угол а) положительна, то функция возрастает (точка на рис. 14.7, а), а если она отрицательна, - то убывает (точка на рис. 14.7, а). Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях при которых производная равна нулю и, следовательно, угол а также равен нулю, т. е. касательная к кривой параллельна оси (точка К на рис. 14.7, а).

Используя изложенные зависимости между функцией и ее первой производной, из теоремы Журавского можно сделать ряд важных выводов:

1. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру М, и осью эпюры равен поперечной силе Q (рис. 14.7, б, в), т. е.

Так, например, тангенс отрицательного угла а (рис. 10.7, в) на участке II балки, изображенной на рис. 10.7, а, имеет значение т. е. равен поперечной силе Q на этом участке (рис. 10.7, б). На участках III и IV этой же балки поперечные силы Q одинаковы и равны (см. рис. 10.7, б). В соответствии с этим прямые на рис. 10.7, в параллельны друг другу; тангенс угла их наклона к оси эпюры равен

2. На участках балки, на которых поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, - убывает.

Для примера на рис. 15.7, а изображены четыре эпюры Q, а под каждой из них на рис. 15.7, б, два из возможных вариантов эпюры М. Первым двум эпюрам Q (с положительными ординатами) соответствуют эпюры М с возрастающими (слева направо) ординатами, т. е. с положительными углами Последним двум эпюрам Q (с отрицательными ординатами) соответствуют эпюры М с убывающими (слева направо) ординатами, т. е. с отрицательными углами Этот же вывод можно проиллюстрировать эпюрами Q и М, изображенными на рис. 10.7: на участке II балки поперечная сила отрицательна, а на участке III - положительна (см. рис. 10.7, б); в соответствии с этим на участке II изгибающие моменты убывают (в алгебраическом смысле), а на участке - возрастают (см. рис. 10.7, в).

3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру М. Этот вывод непосредственно вытекает из зависимости (7.7). В соответствии с данным выводом линии, ограничивающие эпюры М (рис. 15.7, б, в), круче в точках чем в точках а, так как поперечные силы больше по абсолютной величине, чем Линии, ограничивающие эпюры М, не могут иметь очертаний, показанных на рис. 15.7, б, в пунктиром, так как они тогда были бы круче в точках а, чем в точках b, что невозможно при поперечных силах меньших (по абсолютной величине) Такую же зависимость между эпюрами Q и М можно проследить и на рис. 10.7 и 11.7.

На основании рис. 15.7 можно сделать вывод о том, что на участке балки с возрастающими (в алгебраическом смысле) слева направо значениями Q линия, ограничивающая эпюру М, обращена выпуклостью вниз, а с убывающими - выпуклостью вверх.

4. На участке балки, на котором поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра М ограничена прямой линией (см., например, на рис. 10.7 эпюры Q и М на участках III и IV балки). При эта линия наклонена к оси эпюры М под некоторым углом (где - см. вывод 1), а при она параллельна оси эпюры.

(см. скан)

В последнем случае соответствующий участок балки находится в состоянии чистого изгиба.

5. Если на границе соседних участков балки эпюра Q не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются без перелома, т. е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

На рис. 16.7, а показаны две эпюры Q, не имеющие скачков на границах соседних участков (в сечениях А). На рис. 16.7, б сплошными линиями изображены правильные сопряжения линий, ограничивающих эпюры М (без переломов в точках а), а пунктирными линиями - неправильные варианты сопряжения.

6. Если на границе соседних участков балки в эпюре Q имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломом, т. е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

На рис. 17.7, а показаны три эпюры Q, имеющие скачки на границах соседних участков (в сечениях А), а на рис. 17.7,б - соответствующие им сопряжения линий, ограничивающих эпюры переломами в точках а.

7. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.

Рассмотрим расчетную схему балки с произвольной распределенной нагрузкой (рис.2).

Рис.2. Схема изгиба балки:
а) расчетная модель, б) фрагмент балки

Составим уравнение равновесия:

Таким образом, действительно: первая производная от внутреннего изгибающего момента по линейной координате равна поперечной силе в сечении.

Это известное свойство функции и ее первой производной успешно используется при проверке правильности построения эпюр. Так, для расчетной схемы консольной балки (рис.1) эта связь дает следующие проверочные результаты:

И М убывает от 0 до –Pl .

И М х .

Рассмотрим второй характерный пример изгиба двухопорной балки (рис.3).

а) расчетная схема, б) модель первого участка, в) модель второго участка, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.3. Изгиб двухопорной балки:

Очевидно, что опорные реакции R A = R B :

• < б) (рис.3 участка первого>

• для второго участка (рис.3 в) –

Эпюры внутренних усилий представлены соответственно на рис.3 г и 3 д.

На основе дифференциальной связи Q и М , получим:

• для первого участка:

Q > 0 и М возрастает от нуля до .

Q = const и M x

• для второго участка:

Q < 0 и М убывает с до нуля.

Q = const и M также пропорционален х , т.е. изменяется по линейному закону.

Опасным в данном примере является сечение балки в центре пролета:

Третий характерный пример связан с использованием распределенной по длине балки нагрузки (рис.4). Следуя методике, принятой ранее, очевидно равенство опорных реакций: , а для искомого сечения (рис.4 б) выражения для внутренних усилий приобретают вид:

а) расчетная схема, б) отсеченная часть, в) эпюра поперечных сил, г) эпюра внутренних изгибающих моментов

Рис.4 Двухопорная балка с равномерно распределенной нагрузкой:

На обеих опорах изгибающий момент отсутствует. Тем не менее опасным сечением балки будет центр пролета при . Действительно, исходя из свойства функции и производной при , внутренний изгибающий момент достигает экстремума. Для нахождения исходной координаты х 0 (рис.4 в) в общем случае приравняем выражение поперечной силы к нулю. В итоге получим

После подстановки в выражение изгибающего момента получим:

Таким образом,

Необходимо отметить, что техника построения эпюр при изгибе наиболее трудно усваивается слушателями. Вам представляется возможность научиться «быстрому» построению эпюр на тесторе-тренажере, приведенном в ПРИЛОЖЕНИИ и решить в выходных тестах по сопротивлению материалов Вам знакомые по постановке задачи позиции.

Лекция № 5. Понятие о напряжениях и деформациях

Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n . В окрестности этой точки выделим малую площадку F . Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1 а ). При уменьшении размеров площадки соответственно

Рис.1. Композиция вектора напряжения.
а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и касательного напряжений

уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при получим

Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом векторр n называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F , характеризуемой вектором п . Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке.

В общем случае направление вектора напряженийр n не совпадает с направлением вектора нормали п . Проекция векторар n на направление вектора п называется нормальным напряжением , а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную векторуn, - касательным напряжением (рис. 1 б ).

Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м 2 .

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М / , характеризуемое радиус-вектором r " (х, у, z). Вектор u=r"-r называется вектором, перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации.

Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткоецелое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.

Рис.2. Композиция вектора перемещения

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через (рис. 2). В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М" и N’ ), расстояние между которыми обозначим через s". Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz , получим три компоненты относительных линейных деформаций характеризующих изменение объема тела в процессе деформации. , связанных с поворотами отрезков